-エビルフランケンから破壊の鉄球を取れ!-

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確率1/4096でエビルフランケンは破壊の鉄球を落としますが,

もし仮に4096回戦ったとしたら本当に落とすのか?

という議論です.もちろん落とさないことがあるのは明らかですね.
では,落とさない確率pを求めてみましょう.

p = (1-1/4096)4096

ハイ,こんなの計算する気にもなれません.そこで,まずは確率を(1-1/n)nと置き,nに1から順に数字を入れて予測してみたいと思います.

(1-1/1)1=0
(1-1/2)2=0.25
(1-1/3)3=0.296…
(1-1/4)4=0.316…
(1-1/5)5=0.327…
(1-1/10)10=0.348…

この数字を見る限り,nが大きくなっていくとどうやら収束(一定の値になること)しそうですね.今度はn=∞と置いてみましょう.これで,nを無限大に近づけたときにはどうなるんでしょうか.これは極限(数V)の考え方になってしまいますが,とりあえず答えは導けます.
中学生の方でも分かるように多少解説を加えておきます.

(1-1/n)n=1/[{n/(n-1)}n]

ここでn=N+1と置くと,

(1-1/n)n=1/[(1+1/N)N]×1/(1+1/N)
1/(1+1/N)=1 ※1/Nは無限に小さくなるので無視して構いません
従って,落とさない確率は

1/[(1+1/N)N]

となります.[(1+1/N)N]=e(自然対数の底)に収束するという事が一般に知られているので,nをどんどん大きくしていった場合,

(1-1/n)n→1/e=0.3678794411…
つまり,エビルフランケンと4096回も戦ったとして,それでも落とさない確率が,概算値で言って
1/e=0.3678794411…=37%
もあるということです.残念.

ところで,ランプの魔王と256回戦っても仲間にならない確率も,同じように37%ぐらいです.気が重くなりますね.

一部情報提供:Light様 ありがとうございます.

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